К определению перемещений оболочек вариационно-энергетическим методом

Аннотация

С.В. Бурцева, Г.П. Стрельников

Дата поступления статьи: 21.06.2013

В статье получено в матричном виде выражение для определения неизвестных коэффицентов двойных рядов, аппоксимирующих перемещения произвольной точки  срединной поверхности оболочки, которое используется при расчете оболочек вариационно-энергетическим методом .  

Ключевые слова: оболочка, вариационно-энергетический метод,минимума полной потенциальной энергии системы, перемещения, деформации.

05.23.17 - Строительная механика

Расчет оболочек вариационно-энергетическим методом основан на принципе минимума полной потенциальной энергии системы (Э), численно равной разности работы внутренних сил (А) и внешних сил (А_вн). Задача решается в перемещениях. Компоненты перемещения произвольной точки срединной поверхности оболочки  вдоль осей криволинейной системы координат выбираются в виде бесконечных двойных рядов, члены которых состоят из произведения постоянных параметров , подлежащих определению  и линейно  независимых функций , удовлетворяющих геометрическим граничным условиям

В статье [10] приводится выражение для работы внутренних сил в матричном виде в криволинейной ортогональной системе координат

Матрица F , содержащая аппроксимирующие функции     , матрицы R, N , зависящие от геометрии срединной поверхности оболочки, её толщины и материала приводятся в [10].  Матрица  R, кроме коэффициентов первой и второй квадратичных форм, содержит символы  Кристоффеля второго рода

   В случае ортогональной системы координат они могут быть выражены через параметры Ляме следующим образом:

Здесь и  производные параметров Ляме соответственно по первой и второй координатам. После подстановки символов Кристоффеля матрица R будет иметь вид:

 ;     . .

Матрица

является блочной симметричной матрицей порядка 3mn × 3mn

где

 матрица порядка mn × mn

Все элементы этой матрицы будут равны нулю, кроме rs–того элемента, равного единице.

Так как матрица S симметричная, то    

Выражение для работы внешних сил имеет вид

 проекция вектора интенсивности внешней нагрузки на оси прямоугольной декартовой системы координат.

- матрица, содержащая косинусы углов между осями прямоугольной декартовой системы координат и векторами криволинейной системы координат, связанной со срединной поверхностью оболочки.

Так как только один элемент матрицы    будет равен единице, а остальные нулю, то

Если распределенная нагрузка действует вдоль оси x³ прямоугольной декартовой системы координат ( собственный вес конструкции ), тогда вектор и

В случае нагрузки интенсивности p, направленной по нормали к срединной поверхности оболочки, матрица  приобретает вид

Введем матрицу
Из условия стационарности полной потенциальной энергии системы

Э=А - А_вн ,  получаем  3mn линейных  уравнений для определения 3mn неизвестных коэффициентов .

Литература:

1.Аксентян К.Б., Гордеев-Гавриков В.К. Энергетический метод расчета оболочек усложненной формы [Текст]: Монография / К.Б.  Аксентян. – Ростов: РИСИ, 1976г. – 320 с.

2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек [Текст]: Монография / А.Л. Гольденвейзер.−  М. «Наука» ,1976г. – 512 с.

3. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности [Текст]: Монография / Васидзу К.– М. «Мир», 1987г. – 542 с.

4. Кильчевский А.Л. Элементы тензорного исчисления и его приложение к механике [Текст]: Монография / А.Л. Кильчевский – М. ГИТТЛ, 1954г.–168с.

5.Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки [Текст]: Монография / С.П. Тимошенко. – М. «Наука», 1966г. – 636 с.

6.Филин А. В. Элементы теории оболочек. Изд. второе, дополн. и перераб. [Текст]: Монография / А. В. Филин   −  Л.: Стройиздат, 1975г. – 256 с.

7. Koiter W.T. A consistent  first approximation in the general theory of thin elastic shells. –In: Proceedings of the Symposium on the Theory of Thin Elastic Shells, IUTAM, Delft. –Amsterdam: North-Holland, 1960, p. 12-33.

8. Reissner E. Variational considerations for elastic beams and shells. – Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers,  1962, v.88, No.EMI, p. 23-57.

9. Литвинов В.В., Языев Б.М. Энергетический метод в форме  Тимошенко-Ритца для определения критических сил осевого сжатия круговой цилиндрической оболочки. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №1. – Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/722/ (доступ свободный). – Загл. с экрана. – Яз. рус.

10. Бурцева С.В., Стрельников Г.П., Авилкин В.И. К расчету оболочек вариационно-энергетическим методом. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4(2). – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1291 (доступ свободный). – Загл. с экрана. – Яз. рус.