Моделирование листостебельных материалов с помощью теории графов

Аннотация

И.А. Маяцкая, И.А. Краснобаев

Статья посвящена моделированию растительных объектов, а именно, листостебельных материалов. Рассмотрены растительные объекты с различными типами ветвления с учетом их развития. Построены математические модели с помощью теории графов.

Ключевые слова: модель, растительный объект, стебель, ориентированный граф

05.23.17 - Строительная механика

В настоящее время уделяется большое внимание вопросам математического моделирования растительных объектов. Растительные материалы представляют собой объекты сложной геометрической формы и построение моделей этих объектов очень трудный процесс. Рассмотрим построение моделей обобщенных листостебельных структур с помощью теории графов с использованием ориентированных графов с непустым множеством источников и непустым множеством стоков. Необходимо выбрать обобщенную аналитическую модель для описания архитектоники данного растительного объекта. Листостебельные растения представляют собой растительные объекты с различной скелетной структурой. На рис. 1 представлены обобщенные модели с различными типами ветвления.

а). б). в). г).

Рис. 1. Модели листостебельных структур в виде графов с различными типами ветвления (а–симподиальное,б–дихотомическое, в,г – моноподиальное симметричное,несимметричное)

Для описания этих моделей используются сети. Данный объект можно представить в матричной форме, при этом строятся матрицы ребер и узлов. Проанализировав структуру этих матриц можно отметить, что они  являются почто квазидиагональными матрицами. В недиагональных блоках матрицы ребер все элементы равны нулю, а блоки имеют похожую структуру, что нельзя сказать о структуре матрицы узлов (рис. 2).

 Для моноподиального несимметричного и дихотомического типов ветвления в области нулевых матриц встречаются  ненулевые вектора и ненулевые матицы размером 4x2 и 2x4. Характерные особенности в матрице ребер: для каждого типа ветвления в состав матрицы входят ненулевые матрицы с характерным расположением элементов:

а).для  симподиального типа ветвления матрица
;
б).для дихотомического типа ветвления матрица по диагонали
;
и в области нулевых элементов симметрично диагонали расположены матрицы
;
в). моноподиального симметричного типа ветвления матрица
;
г). моноподиального несимметричного типа ветвления матрица

а). б). в). г).

Рис. 2 . Матрицы узлов для листостебельных структур в виде графов с различными типами ветвления ( а – симподиальное, б – дихотомическое, в,г – моноподиальное симметричное, несимметричное)

Рис. 3. Модель развития листостебельного растения (1 – начало роста; 2 – росток; 3 – появление первых листочков; 4 – дальнейшее развитие листочков; 5– развитие ветвей;6 – дальнейшее развитие ветвей; …..;  n – происходит увядание растения)

Рассмотренные модели листостебельных материалов позволяют создать математические модели технологического процесса в виде графа и идентификации растительных объектов.

Радиальное изображение графа используется для описания математической модели развития растительного объекта. В качестве вершины размещаемой в центре берется один из уровней развития растения (рис.3). Из вершины выходят ребра, которые характеризуют направления ветвей. Рассмотрим 5  уровень развития растительного объекта.

Вершина 5 является начальной вершиной ребра, а каждая из точек 5i     ( i=1,…,n)  будет конечной вершиной ребра. Расстояние между вершинами 5 и 5i будет длиной ребра и является самым коротким путем между этими вершинами. Диаметром графа будет наибольшее расстояние между вершинами 5 и наиболее удаленной вершиной.

На уровнях 5,6,.. растительный объект имеет наибольшую массу и ветви имеют максимальные значения длины. Если найти диаметр графа, то можно построить окружности с радиусами, кратными числам, которые характеризуют массу растения. Если длина i-го  ребра попадает в границы построенных окружностей и большее количество ребер определяет зону с наибольшей растительной массой.

Для компьютерной реализации обобщенной математической модели развития растительного объекта лучше использовать модель в виде ориентированного дерева.

Рассмотрим модель в виде ориентированного дерева. Развитие растения идет от вершины 1 к вершине m и a, b, c, d, e, f, h … являются ребрами. На каждом этапе развития происходит разветвление на n направлений с вершинами  j1,…,j n, где j=1,…,m. Из каждой  j вершины выходят ребра с различной длиной  ai, bi, ci, di, ei, fi, hi, где i=1,…, n. Модель можно представить в матричной форме согласно числу уровней и направлений. Ребра представлены буквами и числами. Буква  соответствует уровню развития, цифра – направлению развития. Узлы представлены цифрами соответствующим образом. Так как учитываем направление роста растения, то матрицы узлов  и ребер  будут следующего вида:

и ,

где  матрицы  A_j , B_j и  О равны:

В матрице ребер и узлов использованы следующие обозначения. Например,  узел  i (i=1,…,m)  связан с узлами  j1,…,jn, то ставим 1, если нет – то 0. В матрице ребер 1 означает, что ребра отходят от линии уровней, в противном случае – нет. Для каждого ребра задаем его длину, которая характеризует верви растения. Если длина векторов a, b, c, d, e, f, h в линии уровней увеличивается, то происходит рост растительного объекта..

Возможности теории графов позволяют построить модели растений со сложной геометрией. Они позволяют более гибко размещать элементы скелетной структуры растений и обходиться без пересечения. Долгое время в различных технологических процессах переработки сельскохозяйственной продукции для описания растительных объектов использовались упрощенные модели, без учета реальной формы. Для повышения эффективности данных процессов необходимо совершенствование рабочих органов, введение новых конструктивных решений и использование компьютерной техники. Именно такие перспективы открывает математическое моделирование растительных материалов.

Дальнейшее развитие целесообразно вести в следующих направлениях: разработка конкретных технологических процессов.  создание программного обеспечения моделирования сложных процессов, в которых участвуют растительные объекты.

Литература

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Мир, 1982.

2. Раздорский  В.Ф. Архитектоника растений. – М.: Советская наука, 1955.

3. Математическое моделирование./ Дж. Эндрюс, Р. Мак – Лоун. – М.: Мир, 1979.

4. Владимирский Б.М., Горстко А. Б., Ерусалимский Я. М. Математика. Общий курс. – СПб.: Лань, 2002.