Метод определения температуры в произвольной точке здания в условиях неполного охвата сенсорными сетями

Аннотация

К.С. Юричев, Д.П. Панченко, М.В. Щербаков

В статье рассматривается задача идентификации теплодинамики систем на базе сенсорных сетей, таких как произвольное здание. Дается ее проблематика: рассматриваются слабые места современных интеллектуальных систем на базе сенсорных сетей, существенно ограничивающие их потенциал и повышающие вычислительные затраты. Дается описание нового подхода к построению интеллектуальных автоматических систем управления на базе сенсорных сетей, основанного на методах нечеткого моделирования. Особенность подхода заключается в сохранении высоких показателей эффективности моделирования с уменьшением количества узлов сенсорной системы. В качестве примера реализации методики, рассматриваются результаты анализа экспериментальной имитационной модели термодинамики тестового пространства. Показаны преимущества полученного решения по отношению к существующими коммерческими решениями данной задачи. Проведены испытания методики и показана ее эффективность.
Ключевые слова: интеллектуальные системы управления, сенсорная сеть, анализ данных, нечеткое моделирование, нечеткая классификация, функция принадлежности.

Ключевые слова:

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Введение

В последние несколько лет возрос интерес к разработке и изучению беспроводных самоорганизующихся сенсорных сетей (БСС) - сетей, состоящих из множества простых миниатюрных устройств (узлов), каждое из которых содержит микроконтроллер, приемопередатчик и автономный источник питания. Узлы оснащаются сенсорами, способными регистрировать информацию о параметрах физических полей различной природы в местах их расположения. Результаты измерений передаются по многозвенной цепочке (от узла к узлу) в вычислительный центр для обработки и анализа.
В настоящее время БСС находят все более широкое применение в качестве распределенных систем мониторинга различных объектов и физических процессов. Специфика данной задачи определяет общую структуру беспроводных сенсорных сетей, которые, как правило, представляют собой распределенные на большой территории информационно-измерительные комплексы.
В типичной беспроводной сенсорной сети данные, собираемые всеми узлами, хранятся на единственном сервере, выступающем в качестве шлюза с сетью IP. Чтобы достичь шлюза, данные перемещаются по сети от узла к узлу, при этом существует вероятность потери некоторого количества данных, возрастающая с увеличением размера сети. Кроме того, когда узел передает данные соседнему узлу, а тот передает их дальше, расходуется энергия. Сети большого объема с множеством узлов расходуют для передачи данных значительно больше электроэнергии[7].
Отсюда имеем важное ограничение при построении моделей идентификации систем, связанное с ограниченным отражением реальной системы на модель:

• по мере роста сенсорной сети ее производительность снижается
• размерность сети прямо пропорциональна энергопотреблению.

На примере решаемой задачи предлагается метод уменьшения недетерминированности сенсорной системы, используя ее стохастические свойства, с целью максимального отображения реальной системы.

Далее будут рассмотрены методы оптимального проектирования БССи построения на её основе оптимально детерминированной модели, решающей задачу определения значений температур.

Постановка задачи

Первичная постановка задачи. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве существует некоторое замкнутое множество гиперплоскостей, образующих ограниченную с сторон область Есть замкнутое множество значений некоторой характеристической величины, определяющее состояние системы в заданной точечной области определения, непрерывно, нелинейно и, вообще говоря, с некоторой вероятностной мерой распределенное по области . Существует  множество сенсорных точек , где для каждой точки в момент времени определено значение характеристической величины и с переменной вероятностной мерой, подчиняющейся некоторому закону распределения, определена величина  в пределах некоторой окрестности  с центром масс в точке .

1. Требуется идентифицировать оптимальную структуру сенсорной сети, покрывающей область , минимизировав кол-во узлов.
2. Требуется определить значение характеристической величины в произвольной точке рассматриваемого пространства.

Конкретизированная постановка задачи. Определив характеристическую величину как температуру системы, параметризованную координатами в рассматриваемом пространстве, а область как анализируемое здание, исходя из условий первичной постановки задачи, необходимо определить значение температуры в произвольной точке здания .

Нечеткая модель как базис для решения задачи определения температур на доверительных интервалах в произвольных точках ограниченного пространства
По определению сенсорная система является детерменированной связанной(сильно или слабо) системой, имеющая контрольные точки, выступающие в роли индикаторов состояния системы.
Тогда можно описать такую систему как вершинный (элементы системы-вершины) граф:

где

- это некоторые неопределенные состояния системы (Q - неизвестно), на заданных параметрах  – координатах области рассмотрения(координата z опущена для упрощения вида расчетов); Q – измеряемая величина, характеризующая состояние системы, в данной задаче - температура.

- это замкнутое множество детерминированных состояний системы на заданных параметрах, что сводится к множеству состояний известных узлов сенсорной сети.

- это замкнутое множество связей между локализованными в некоторой точке пространства детерминированными состояниями системы, то есть узлами сенсорной системы. Характер этой связи определяется функцией меры близости узлов сенсорной сети, в соответствии с выбранной метрикой пространства.

где  – число измерения в пространстве,  – множество координат, определяющих положение точки в выбранном пространстве,  - метрика.

Тогда, если система в действительности является детерминированной, то с некоторой мерой адекватности может быть построена нечеткая модель системы.В данном контексте, нечеткая модель, в отличие от стохастической модели, описывает систему как нечеткий граф состояний с нечеткими правилами связей вершин:

где  - конечное непрерывное множество всех возможных, вообще говоря, определенных с некоторой вероятностной мерой, состояний системы при вариации параметров  внутри их области определения;

– допустимая погрешность или доверительный интервал, такой, что в окрестности,   состояние считается достоверно определенным.

– нечеткое отношение между множествоми множеством детерминированных состояний элементов системы   на известных параметрах , где  – функция

принадлежности к  (Далее обозначим ). Применительнок сенсорно-сетевым моделям, эту функцию можно определить аналогично (5) как меру близости между векторами параметров системы  при состоянии  и состоянии .Причем, если имеет место функциональная зависимость, то  можно интерпретировать как конечный набор нечетких правил отображения .
Введем формулу для оценки погрешности определения состояния:

	(8)
	(8*)

где  – некоторая постоянная норма, за которую принимается разница между верхней и нижней границей возможных состояний системы; –коэффициент точности построенной модели (по сути, среднее значение функции принадлежности на всей области определения системы ) :(9)

–вероятность того, что состояние системы может быть достоверно определено на текущем нечетком отношении; тогда  – есть среднее ожидаемое отклонение от реального состояния системы.

Следовательно, задача нахождения наиболее адекватной нечеткой модели сводится к максимизации целевой функции (9). Примеры оптимизации нечеткой модели сенсорно сетевой системы без изменения количества узлов иллюстрированы на рис. 1.

Теорема. Для всякого элемента  универсума , c оценкой его погрешности , не выходящей за интервал ,если проекция отношения  на

является нормированным отношением, т.е. функции принадлежности  порождают взаимодополняющие множества , то значение элемента

 эквивалентно интегральной сумме всех мер принадлежности по элементам .

(10)

Доказательство. Имеем пространство мерой (6), с определенной на нем измеримой функцией , являющейся индикатором измеримого множества , а так же являющейся простой, что следует из определения (7). Тогда - конечное разбиение  на измеримые множества.

Интегрируя измеримую функцию при   по Лебегу имеем:

(11)

Наконец, если рассматривать  нормированную функцию принадлежности как коэффициент подобия, то из условий нормировки имеем: , что и требовалось доказать.

Замечание.
Если исходное семейство функций принадлежности  не удовлетворяет условию нормировки из (10), то их можно нормировать в соответствии со следующей формулой:

Заметим, что лишь существование условия нормировки гарантирует закрытие «пропастей» в нечеткой модели.

Методика решения задачи определения температур на доверительных интервалах в произвольных точках ограниченного пространства

Шаг 1. Пространственно-структурная самоорганизация системы.

На этом шаге необходимо определить текущую структуру системы в пространстве: ориентацию узлов и расстояния между узлами, топологию, инициализировать все узлы системы. Использование конкретных алгоритмов зависит от разных факторов системы (наличие перекрытий, акустика и т.д.), выберем лишь наиболее простые.
Для определения ориентации можно использовать алгоритм AoA (см. рис. 2), суть которого заключается в измерении фазы или временного интервала между приемами звукового сигнала на различных узлах [10].

Для определения расстояний между узлами можно использовать алгоритм TDoA, суть которого заключается в замере времени прохождения радиосигнала и последовательности звуковых сигналов между всеми парами узлов.
Шаг 2. Инициализация системы.
Определим  из (1), как множество датчиков-индикаторов температуры ( из (1)).

рис. 3 Представление сенсорно-сетевой системы в виде графа

Тогда  из (1) является замкнутым множеством связей графа G. Теперь исходную систему можно представить в виде графа G в соответствии с (1), с параметрами (2), (3), (4) (см. рис. 3).Мерой значимости связей или весом дуг графа G в соответствии с (5) является некоторая функция близости вершин, -функция. Применительно к сенсорным системам:

(13)

Выбор вида функции (6) обусловлен тем фактом, что энергия сигнала, посылаемого одним узлом сети убывает пропорционально квадрату расстояния [9].Таким образом, при значениях ниже некоторого (зависит от технической спецификации сенсоров) , выпадает из множества .

Шаг 3. Построение нечеткой модели
В соответствии с (6), определим отношение в виде матрицы смежности.

Определим функцию принадлежности из (7)аналогично (5) как некоторую функцию меры пространственной близости:

(14)

 где – это некоторая область, , в которой состояние остается детерминированным (область работы термодатчиков с незначительной погрешностью). Выбор вида функции (14) обусловлен высокой степенью сглаживания и аналогией с функцией нормального распределения вероятности, при которой узел системы с местоположением окружен экспоненциально убывающим полем, с градиентом направленным в его же сторону. Благодаря таким свойствам, близкие точки буду обладать большей значимостью своих связей в графе.

Проведем операцию нормировки функций принадлежности, воспользовавшись (12).

(15)

Как можно заметить, теперь функция определена на всей области определения  и асимптотически стремится к нулю в направлении всякого вектора , где .

В итоге имеем следующее семейство поверхностей (см. рис. 4), наглядно демонстрирующих аппроксимирующие свойства полученной нечеткой модели.

Шаг 4.Расчет модели. Все готово для определения состояния моделируемой системы при произвольных её параметрах. А именно, для расчета температуры  Q в произвольной точке, воспользуемся теоремой (10):

(16)

В результате решения исходной задачи имеем поверхность распределения температур в произвольном сечении 3-х мерного пространства (см. рис. 5 (г)).

Экспериментальная апробация метода.

Для испытания метода, в силу недоступности реальных сенсорных систем и их дороговизны для проведения тестов, была разработана программная имитационная модель распределения теплоты в комнате размерами 10 на 5 метров. Схема сенсорной системы идентична рис. 5 (а). Из 5 узлов сенсорной сети, 1 находился в режиме тестера и не включался в модель.

Значения модели для локации узла-тестера сравнивались с показателями самого тестера. Результаты экспериментов представлены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты испытания системы.

Как видно из  результатов, при меньшем кол-во узлов, модель «запаздывает» в определение температуры в искомой точке, в силу того, что изменение показаний далеко расположенных от этой точки сенсоров требует времени. При большем охвате сенсорной сети, это время и отклонения результатов меньше.

Выводы
Предложенная методика эффективно справляется с задачей определения температуры в произвольной точке произвольного подпространства( здания, склада, комнаты) в условиях неполного охвата сенсорными сетями. При сильной нестабильности моделируемой системы в статике(хаотично локализованные сильные перепады температур в пределах рассматриваемого подпространства в случайный момент времени), нечеткая модель будет наименее эффективна, так как её апроксимирующие свойства  при неоптимальном охвате сенсорной сетью потеряют влияние на результат (благодаря вводу доверительных интервалов) и конечный результат будет завесить исключительно от меры точности модели(карты локализации и количества узлов сенсорной сети). В случае отсутствия доверительных интервалов, конечные результаты будут маловероятны и, вообще говоря, еще дальше от реальных из-за вносимых погрешностей, на основе неоптимальных апроксимаций. Методика на базе нечеткого моделирования позволит существенно сократить энергозатраты на отопление и охлаждение, в особенности, крупных промышленных объектов, дата-центров, торгово-развлекательных и деловых центров.
Применение методики не ограничивается на решении задачи определения температуры в произвольной точке здания. Методика расширяема и особенно интересна для моделирования динамики систем, в частности таких, как гибридные энергетические системы [7], где определенно может стать алгоритмическим базисом отдельного агента в мультиагентной системе моделирования.

Литература
1.Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств — М.: Радио и связь, 1982. — 432 c.
2. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы - М.: Горячая линия -Телеком, 2006. - 452 c.
3. Brown J. G. - A Note on Fuzzy Sets. Inform, and Control.  vol. 18, C. 32-39, 1971.
4. Борисов A. H., Вульф Г. H., Осис Я. Я. Применение теории размытых множеств к идентификации состояния сложных систем. // Кибернетика и диагностика. - 1972. - №5. С. 135-147.
5. Akyildiz I.F., Su W., Sankarasubramaniam Y., Cayirci E., Wireless Sensor Networks: A Survey // IEEE Computer  Networks. 2002. vol 38. № 4. С. 393-422.
6. Niculescu D., Nath B. Ad hoc positioning system (APS) using AOA // INFOCOM 2003. Twenty-Second Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications. IEEE Societies. 2003. vol. 3. №1. С. 1734-1743.
7. Щербаков М.В. Набиуллин А. С. Камаев В.А. Мультиагентная система моделирования производства и потребления электроэнергии в гибридных энергетических системах. // Инженерный вестник Дона. - 2012. - №2. http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/775/доступ свободный